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CÁLCULO DE
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Vol. 36, Núm. 136, 1994, pág. 319 a 320
H. Fernández-Abascal, Marta Guijarro,
José Luis Rojo y José A. Sanz
JOSÉ MIGUEL CASAS SÁNCHEZ
Universidad de Alcalá de Henares
Se trata de un manual de Cálculo de Probabilidades y Distribuciones de Probabilidad, pensado, en opinión de los autores, para que sirva de manual en un curso cuatrimestral en las diplomaturas y licenciaturas de Economía y de Administración y Gestión de Empresas.
Los capítulos segundo y tercero se centran en el desarrollo axiomático del concepto de probabilidad y en el estudio de sus propiedades más interesantes desde el punto de vista de los cálculos. En el primero de ellos se estudian las operaciones básicas con los sucesos y sus probabilidades, y en el segundo se analizan detenidamente los conceptos de probabilidad condicionada e independencia estadística. Mencionemos, en particular, el desarrollo que realizan los autores de las técnicas de composición (de descomposición) de experimentos y sus probabilidades, que permiten estudiar sin dificultad los experimentos compuestos que se presentan en las aplicaciones.
Los capítulos cuarto y quinto estudian las variables aleatorias, en sus vertientes uni y n-dimensional, respectivamente. La presentación es rigurosa y formal, lo que proporciona al estudio una cierta aridez, aunque los resultados vienen acompañados de ejemplos que ilustran su utilización práctica. Salvo en las definiciones y propiedades más generales, el estudio se dedica a las variables discretas y a las absolutamente continuas.
Las características de las variables aleatorias ocupan los capítulos sexto y séptimo. El primero de ellos las estudia en un contexto unidimensional y el segundo para variables bidimensionales, aunque muchos resultados se generalizan posteriormente a n dimensiones. Las constantes referencias a las analogías de este material con el que se estudia en Estadística descriptiva (descripción de datos) facilitan la interpretación de los conceptos.
El capítulo octavo se dedica a las funciones características y tiene un tratamiento puramente instrumental. Para los autores, se trata de suministrar una herramienta que facilite el estudio de sumas y medias de variables aleatorias. En este sentido, se presta poca atención a los resultados más abstractos, dedicándose preferentemente a aquellos de mayor operatividad.
En los capítulos que van del noveno al duodécimo se estudian las distribuciones de probabilidad más usuales en la modelización de los fenómenos económicos y, en general, en las ciencias aplicadas. El tratamiento que los autores dan a cada distribución es siempre el mismo; se describen sus orígenes históricos, cuando son de interés, y los experimentos aleatorios que conducen a las mismas; se introduce su función de probabilidad o de densidad y se obtienen sus características (esperanza, varianza, función característica, etc.), y propiedades de interés en las operaciones con dichas distribuciones o en su cálculo de probabilidades. Si la función de distribución no es operativa, se ilustra el manejo de las tablas estadísticas pertinentes. Los autores agrupan en el capítulo noveno las distribuciones discretas, en el décimo las continuas univariantes, en el undécimo las distribuciones continuas que se presentan en las distribuciones en el muestreo, y en el duodécimo se estudia la distribución normal multivariante, con notaciones y resultados especialmente útiles para los estudios econométricos que posteriormente deberán cursar los alumnos.
El capítulo decimotercero y último estudia las convergencias de sucesiones de variables aleatorias. Como en el capítulo octavo, el tratamiento es puramente instrumental, ya que el objetivo de los autores es el de dar las definiciones y resultados necesarios a un nivel aplicado para el desarrollo de la inferencia estadística. En este sentido, se estudian ciertas leyes de los grandes números y versiones limitadas del teorema del límite central.
El desarrollo de los temas está acompañado de abundantes ejemplos, que ilustran al lector sobre el alcance de las definiciones y sobre el desarrollo de las técnicas de cálculo. Asimismo, cada capítulo finaliza con una buena colección de problemas propuestos, muchos de ellos originales, en los que se combinan ejercicios prácticos con resultados complementarios a los obtenidos en el texto.
El libro está pensado no sólo para un curso cuatrimestral de Cálculo de probabilidades, sino que pueda servir al lector para profundizar en ciertos temas más adelante. En este sentido, debido a su gran rigor científico, puede resultar interesante para alumnos de otras titulaciones, especialmente diplomaturas en Estadística, Ingenierías, Sociología, Ciencias Físicas o Matemáticas, por ejemplo.
Prefacio
El libro que se presenta a continuación recoge los conceptos básicos del Cálculo de Probabilidades y de las distribuciones de probabilidad. Es el primero de una serie de dos, el segundo de ellos dedicado al estudio de la Inferencia Estadística. Su contenido incluye los desarrollos y aplicaciones más usuales del Cálculo de Probabilidades que son de interés para las ciencias aplicadas. Se aborda, de este modo, la construcción axiomática de la teoría de la probabilidad en los capítulos segundo y tercero, dedicando una especial atención al manejo de las herramientas de cálculo habituales (probabilidad condicionada, independencia de sucesos, teorema de la probabilidad total, teorema de Bayes, composición de experimentos, etc.).
En los capítulos comprendidos entre el cuarto y el octavo se estudian las variables aleatorias. Los dos primeros están dedicados al desarrollo de los conceptos básicos del cálculo de probabilidades con variables (probabilidad inducida, función de distribución, etc.), prestando una gran atención a las variables aleatorias discretas y a las continuas, que aparecen en la casi totalidad de las aplicaciones en las que intervienen variables aleatorias. Se realiza un análisis especialmente cuidadoso de las distribuciones condicionadas y del concepto de independencia de variables aleatorias, de especial interés en la formalización de modelos probabilísticos complejos en el campo aplicado.
En los capítulos sexto y séptimo se desarrollan las características numéricas asociadas a las variables aleatorias, a saber, esperanzas o medias, medianas, varianzas, coeficientes de asimetría y de aplastamiento, covarianzas, coeficientes de correlación, etc. Una buena parte del capítulo séptimo está dedicado a la regresión, tanto en su enfoque lineal como en el general. La función característica, una característica de las variables aleatorias de difícil comprensión, aunque de fácil manejo en el estudio del comportamiento probabilístico de sumas y medias, ocupa el capítulo octavo de este texto.
Los capítulos que van del noveno al duodécimo muestran un repertorio de las distribuciones de probabilidad más usuales en la modelizaci¢n de fenómenos aleatorios. Para cada una de las distribuciones descritas se calculan sus características numéricas más importantes y se enuncian y demuestran las propiedades más usuales; esta parte se completa con un anexo situado al final del libro, que incluye las tablas estadísticas de las principales distribuciones, tablas que permiten el cálculo aproximado y rápido de probabilidades. El capítulo decimotercero, y último, estudia las convergencias de sucesiones de variables aleatorias, herramienta imprescindible para obtener distribuciones de probabilidad aproximadas para las sumas y medias de muchas variables aleatorias, mediante el teorema del límite central y las denominadas leyes de los grandes números. Sobre estos últimos resultados descansa una buena parte de la Inferencia estadística, a la que, como ya hemos mencionado, dedicaremos el segundo de los libros.
Para el estudio completo del libro se precisan unos conocimientos moderados de Cálculo diferencial e integral, algunas nociones del cálculo de límites y de las técnicas de sumación de series numéricas sencillas, así como ciertos conceptos y desarrollos de \'Algebra lineal. Es necesario manejar con soltura el Análisis combinatorio, aunque el apéndice que figura al final del capítulo segundo recuerda las motivaciones estadísticas y los resultados fundamentales relacionados con el mismo. Cada capítulo admite varias lecturas, dependiendo del nivel de preparación del lector. En general, las definiciones se proporcionan con el necesario rigor, y se realizan las demostraciones de los resultados siempre que su seguimiento sea posible para un lector que se encuentre en las condiciones especificadas en el párrafo anterior. No obstante, las definiciones y resultados básicos (y muchos no tan básicos) van acompañados de observaciones que permiten que el lector poco avezado en las lides matemáticas pueda valorar el contenido de los mismos, haciéndose, al menos, una idea intuitiva de ellos. En este mismo sentido, tanto las definiciones como los resultados básicos mencionados anteriormente van acompañados de multitud de ejemplos que los ilustran. Cada capítulo finaliza con una amplia colección de ejercicios propuestos, a través de los cuales el lector podrá medir el grado de comprensión de los contenidos de cada capítulo.
El libro está escrito para que sirva de manual y de obra de consulta en un curso cuatrimestral de Cálculo de Probabilidades, estando orientado esencialmente a los alumnos de los nuevos planes de estudio de las licenciaturas y diplomaturas en Economía y en Administración de Empresas de las Facultades y Escuelas Universitarias de Ciencias Económicas y Empresariales. Pero puede utilizarse con el mismo provecho, si bien con una lectura diferente, en licenciaturas y diplomaturas que necesiten de un bagaje adecuado de técnicas relacionadas con el Cálculo de Probabilidades (estadística, ciencias físicas, químicas y biológicas, ciencias sociales y humanas o ciencias médicas, entre otras). Esta multiplicidad de posibilidades, así como el abultado número de páginas del libro, es consecuencia del deseo de los autores de suministrar al alumno de esas licenciaturas y diplomaturas un texto que no se le quede corto en su andadura profesional, al menos, por lo que respecta a los desarrollos más generales.
Los autores poseen una larga trayectoria docente en el campo de la Economía Aplicada, en concreto, en Estadística y Econometría, en las Facultades de Ciencias Económicas y Empresariales. es profesor titular de Escuela Universitaria, es catedrático de Universidad, y es profesor titular de Universidad, todos ellos en el Departamento de Economía Aplicada (Estadística y Econometría) de la Universidad de Valladolid. ha sido profesora asociada en este mismo Departamento, y en la actualidad es profesora titular de Universidad en el Departamento de Economía de la Universidad de Cantabria.
El libro que llega a las manos del lector es el resultado de una larga reflexión colectiva, desarrollada durante los últimos dieciséis años, de la que han participado, en diferentes periodos, diversos profesores de Estadística y Econometría de la Facultad de CC. EE. y EE. de Valladolid. A todos ellos, así como a los alumnos de las distintas promociones que nos han premiado con su entendimiento y paciencia, y a veces con su incomprensión, nuestro agradecimiento.
Índice
| Prefacio | VII |
| 1. Introducción | 1 |
| 1.1. Una aproximación al concepto de Estadística | 2 |
| 1.2. El método estadístico | 7 |
| 1.3. La Estadística como rama de las Matemáticas | 8 |
| 1.4. Desarrollo histórico del Cálculo de Probabilidades y de la Estadística | 11 |
| 1.5. Estadística y Ciencias Sociales | 16 |
| 2. Concepto de probabilidad | 21 |
| 2.1. Fenómenos aleatorios | 21 |
| 2.2. Operaciones y relaciones entre sucesos. Concepto de sigma-álgebra | 23 |
| 2.2.1. Operaciones entre sucesos | 23 |
| 2.2.2. Relaciones entre sucesos | 27 |
| 2.2.3. Concepto de álgebra | 28 |
| 2.3. Definición de probabilidad | 31 |
| 2.4. Propiedades de las probabilidades | 34 |
| 2.5. Algunos tipos de espacios probabilísticos | 37 |
| 2.5.1. Probabilidad en un espacio muestral discreto | 37 |
| 2.5.2. Probabilidad en un espacio muestral continuo | 43 |
| 2.6. Ejercicios propuestos | 44 |
| 3. Probabilidad condicionada e independencia estadística | 53 |
| 3.1. Probabilidad condicionada: definición y propiedades | 53 |
| 3.2. Teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes | 59 |
| 3.3. Independencia de sucesos | 62 |
| 3.4. Composición de experimentos. Probabilidad en el espacio producto | 69 |
| 3.4.1. Asignación de probabilidades en experimentos compuestos | 73 |
| 3.4.2. Equiprobabilidad en experimentos compuestos | 84 |
| 3.5. Ejercicios propuestos | 88 |
| 4. Variables aleatorias unidimensionales | 93 |
| 4.1. Definición de variable aleatoria | 93 |
| 4.2. Álgebra de Borel. Probabilidad inducida por una variable aleatoria | 103 |
| 4.3. Función de distribución de una variable aleatoria. Propiedades | 105 |
| 4.4. Variables aleatorias discretas | 113 |
| 4.5. Variables aleatorias continuas | 121 |
| 4.6. Variables aleatorias mixtas | 128 |
| 4.7. Truncamiento de variables aleatorias | 132 |
| 4.8. Transformaciones de una variable aleatoria | 135 |
| 4.8.1. Cambio de variable para variables discretas | 138 |
| 4.8.2. Cambio de variable para variables continuas | 139 |
| 4.9. Ejercicios propuestos | 143 |
| 5. Variables aleatorias n-dimensionales | 149 |
| 5.1. Definición de variable aleatoria n-dimensional | 149 |
| 5.2. Función de distribución. Propiedades< | 155 |
| 5.3. Variables n-dimensionales discretas | 166 |
| 5.4. Variables n-dimensionales continuas | 174 |
| 5.5. Distribuciones condicionadas | 185 |
| 5.5.1. Distribuciones discretas condicionadas | 187 |
| 5.5.2. Distribuciones continuas condicionadas | 191 |
| 5.6. Independencia de variables aleatorias | 198 |
| 5.7. Transformaciones de una variable aleatoria n-dimensional | 216 |
| 5.7.1. Cambio de variable para variables bidimensionales discretas | 217 |
| 5.7.2. Cambio de variable para variables bidimensionales continuas | 219 |
| 5.8. Ejercicios propuestos | 230 |
| 6. Características de una variable aleatoria unidimensional | 241 |
| 6.1. Esperanza matemática | 243 |
| 6.2. Momentos de una variable aleatoria | 256 |
| 6.2.1. Momentos centrales y no centrales | 258 |
| 6.2.2. Varianza y coeficiente de variación | 261 |
| 6.2.3. Tipificación de una variable | 267 |
| 6.3. Otras medidas de posición dispersión y forma | 268 |
| 6.4. Teorema de Markov y desigualdad de Chebyshev | 277 |
| 6.5. Ejercicios propuestos | 280 |
| 7. Características de una variable aleatoria n-dimensional | 287 |
| 7.1. Momentos de una variable aleatoria n-dimensional | 287 |
| 7.2. Esperanza condicionada | 302 |
| 7.3. Momentos condicionados | 309 |
| 7.4. Regresión y correlación | 313 |
| 7.4.1. Regresión lineal | 316 |
| 7.4.2. Regresión general | 333 |
| 7.5. Esperanza y matriz de varianzas-covarianzas de una variable aleatoria n-dimensional | 342 |
| 7.6. Ejercicios propuestos | 349 |
| 8. Funciones características | 357 |
| 8.1. Variable aleatoria compleja. Definición y esperanza matemática | 358 |
| 8.2. Función característica de una variable aleatoria unidimensional Propiedades | 360 |
| 8.3. Función característica de una variable aleatoria n-dimensional. Propiedades | 373 |
| 8.4. Ejercicios propuestos | 383 |
| 9. Modelos de distribuciones discretas | 387 |
| 9.1. Distribución uniforme discreta | 388 |
| 9.2. Distribución de Bernoulli | 392 |
| 9.3. Distribución binomial | 393 |
| 9.4. Distribución de Poisson | 398 |
| 9.5. Distribución geométrica | 403 |
| 9.6. Distribución binomial negativa | 407 |
| 9.7. Distribución hipergeométrica | 411 |
| 9.8. Distribuciones discretas n-variantes | 415 |
| 9.8.1. Distribución multinomial | 416 |
| 9.8.2. Distribución hipergeométrica multivariante | 419 |
| 9.9. Ejercicios propuestos | 423 |
| 10. Modelos de distribuciones continuas univariantes | 429 |
| 10.1. Distribución uniforme continua | 429 |
| 10.2. Distribución normal | 436 |
| 10.3. Distribución logarítmico-normal | 445 |
| 10.4. Distribución gamma | 448 |
| 10.5. Distribución exponencial negativa | 452 |
| 10.6. Distribución beta | 455 |
| 10.7. Distribución de Pareto | 459 |
| 10.8. Distribución de Cauchy | 461 |
| 10.9. Distribución logística | 464 |
| 10.10. Ejercicios propuestos | 467 |
| 11. Distribuciones relacionadas con la normal | 473 |
| 11.1. Distribución chi de Pearson | 473 |
| 11.2. Distribución t de Student | 478 |
| 11.3. Distribución F de Snedecor | 482 |
| 11.4. Ejercicios propuestos | 486 |
| 12. Distribución normal n-dimensional | 489 |
| 12.1. Distribución normal n-dimensional | 489 |
| 12.2. Distribución normal bidimensional | 502 |
| 12.3. Ejercicios propuestos | 507 |
| 13. Leyes de los grandes números y Teorema del límite central | 513 |
| 13.1. Convergencia de sucesiones de variables aleatorias | 516 |
| 13.1.1. Convergencia casi segura | 517 |
| 13.1.2. Convergencia en probabilidad | 518 |
| 13.1.3. Convergencia en media de orden r | 521 |
| 13.1.4. Convergencia en ley o en distribución | 522 |
| 13.2. Leyes de los grandes números | 526 |
| 13.2.1. Leyes débiles de los grandes números | 526 |
| 13.2.2. Convergencia en probabilidad de los momentos muestrales | 530 |
| 13.2.3. Leyes fuertes de los grandes números | 533 |
| 13.3. Teorema del límite central | 535 |
| 13.3.1. Consecuencias del teorema del límite central | 538 |
| 13.3.2. Corrección por continuidad de Fisher | 540 |
| 13.4. Ejercicios propuestos | 544 |
| Anexo. Tablas Estadísticas | 547 |
| Glosario | 567 |
El libro
Cálculo de Probabilidades y Estadística
Editorial Ariel.
1ª Edición.
592 páginas.
ISBN: 84-344-2094-5
5800 PTA (34,86 €).